Question

已知函數f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R）且g（-

1

2

）-g（1）=f（0）
（1）試求b，c所滿足的關系式；
（2）若b=1，F（x）=f（x）+g（x） 在x∈[

1

2

，+∞）為增函數，求a的取值范圍．
（3）若b=0，方程f（x）=g（x）在x∈（0，+∞）有唯一解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由g(-

1

2

)-g(1)=f(0)，即可得出；
（2）F（x）在x∈[

1

2

，+∞)上遞增，?F′(x)=a-

1

x2

≥0在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立，轉化為恒成立問題，求出即可；
（3）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1．方程f（x）=g（x），即ax-3=-

1

x2

，可化為a=-

1

x3

+

1

x

，令

1

x

=t，則由題意可得，a=3t-t³在t∈（0，+∞）上有唯一解，再利用導數研究其單調性、極值即可．

解答：解：（1）由g(-

1

2

)-g(1)=f(0)，得（2b+4c）-（b+c）=-3．
∴b、c所滿足的關系式為b-c-1=0．
（2）由b=1，b-c-1=0，可得c=0，∴g（x）=

1

x

，F（x）=ax+

1

x

-3．
∵F（x）在x∈[

1

2

，+∞)上遞增，
∴F′(x)=a-

1

x2

≥0在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立  即：a≥

1

x2

在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立．
∴a≥(

1

x2

)max∵函數y=

1

x2

在x∈[

1

2

，+∞)上單調遞減，∴(

1

x2

)max=4．
∴a≥4．
（3）由b=0，b-c-1=0，可得c=-1．
方程f（x）=g（x），即ax-3=-

1

x2

，可化為a=-

1

x3

+

1

x

，
令

1

x

=t，則由題意可得，a=3t-t³在t∈（0，+∞）上有唯一解，
令h（t）=3t-t³（t＞3），由h′（t）=3-3t²，可得t=1，
當0＜t＜1時，由h′（t）＞0，可知h（t）是增函數；
當t＞1時，由h′（t）＜0，可知h（t）是減函數．故當t=1時，h（t）取極大值2．
由函數h（t）的圖象可知，當a=2或a≤0時，方程f（x）=g（x）有且僅有一個正實數解．
故所求a的取值范圍是{a|a=2或a≤0}．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、把問題等價轉化等是解題的關鍵．