Question

6．直線l與函數(shù)y=cosx（x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]）圖象相切于點(diǎn)A，且l∥CP，C（-$\frac{π}{2}$，0），P為圖象的極值點(diǎn)，l與x軸交點(diǎn)為B，過(guò)切點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{{π}^{2}-4}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₀，y₀），用x₀，y₀表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．

解答 解：P（0，1），∴直線l的斜率k=k_PC=$\frac{2}{π}$，
設(shè)A（x₀，y₀），D（x₀，0），則y′|${\;}_{x={x}_{0}}$=$\frac{2}{π}$，即-sinx₀=$\frac{2}{π}$，
∴y₀=cosx₀=$\sqrt{1-sin{{\;}^{2}x}_{0}}$=$\sqrt{1-\frac{4}{{π}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{π}^{2}-4}}{π}$，
∴直線l的方程為y-y₀=$\frac{2}{π}$（x-x₀），
令y=0得x=x₀-$\frac{π}{2}$y₀，∴B（x₀-$\frac{π}{2}$y₀，0），
∴$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{π}{2}$y₀，y₀），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{π}{2}$y₀，0），
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{{π}^{2}}{4}$y₀²=$\frac{{π}^{2}}{4}$×$\frac{{π}^{2}-4}{{π}^{2}}$=$\frac{{π}^{2}-4}{4}$．
故答案為：$\frac{{π}^{2}-4}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．