Question

（本小題滿分14分）

如圖，正四棱柱中，,點在上且.

(1) 證明：平面;

(2) 求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

解法一：

依題設知，．

（Ⅰ）連結交于點，則．由三垂線定理知，．…………2分

在平面內，連結交于點，

由于，故，，與互余．

于是．…………5分

與平面內兩條相交直線都垂直，所以平面．…………6分

（Ⅱ）作，垂足為，連結．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．…………8分

，，．

，．

又，．

． …………12分

 ∴ …………13分

所以二面角的余弦值為．  …………14分．

解法二：

以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系．

依題設，．………2分

，．   ………4分

（Ⅰ）因為，，故，．

又，所以平面．   ………7分

（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則

，．故，．………10分

令，則，，．………11分

等于二面角的平面角，

．………13分

所以二面角的余弦值為．  …………14分

 

【解析】