Question

1．如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側，使∠CAB=$\frac{π}{4}$，∠DAB=$\frac{π}{3}$．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F為BC的中點，E為AO的中點．P為AC的動點，根據圖乙解答下列各題：

（1）求三棱錐D-ABC的體積．
（2）求證：不論點P在何位置，都有DE⊥BP；
（3）在BD弧上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據圓的性質求出△ABD的面積，利用面面垂直的性質得出OC⊥平面ABD，代入棱錐的體積公式計算；
（2）利用三線合一和面面垂直的性質證明DE⊥平面ABC；
（3）取$\widehat{BD}$的中點G，BD的中點M，連結FM，FG，MG，則可證平面FMG∥平面ACD，故而FG∥平面ACD．

解答 解：（1）在圖甲中，∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BD，AC⊥BC，
∵AB=2，∠DAB=$\frac{π}{3}$，∴AD=$\frac{1}{2}AB=1$，BD=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵∠CAB=$\frac{π}{4}$，∴OC⊥AB，OC=$\frac{1}{2}$AB=1．
在圖乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABD
∴V_D-ABC=V_C-ABD=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×OC$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）∵OA=OD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，∴△OAD是等邊三角形，
∵E是OA中點，∴DE⊥OA，
∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，DE⊥AB，
∴DE⊥平面ABC，∵BP?平面ABC，
∴DE⊥BP．
（3）$\widehat{BD}$上存在一點G，滿足$\widehat{DG}$=$\widehat{BG}$，使得FG∥平面ACD，
理由如下：取BD中點M，連結FM，MG，FG，
則MG⊥BD，∴MG∥AD，
∵F，M分別是BC，BD的中點，
∴FM∥CD，
∵FM?平面FMG，MG?平面FMG，CD?平面ACD，AD?平面ACD，AD∩CD=D，FM∩MG=M，
∴平面FMG∥平面ACD，
∵FG?平面FMG，
∴FG∥平面ACD．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．