已知a>0,命題p:?x>0,x+
a
x
≥2
恒成立;命題q:?k∈R直線kx-y+2=0與橢圓x2+
y2
a2
=1
有公共點.是否存在正數(shù)a,使得p∧q為真命題,若存在,請求出a的范圍,若不存在,請說明理由.
分析:利用基本不等式求得命題p為真時a的取值范圍;根據(jù)直線與橢圓的位置關系確定a滿足的條件,再由復合命題真值表知,若p∧q為真命題,則p與q都為真命題,求得a的范圍.
解答:解:對?x>0,∵x+
a
x
≥2
a
,
∴要使x+
a
x
≥2
恒成立,∴有2
a
≥2⇒a≥1,
∴命題p為真時,a≥1;
∵?k∈R直線kx-y+2=0恒過定點(0,2),要使直線kx-y+2=0與橢圓x2+
y2
a2
=1
有公共點.
∴有
22
a2
+0≤1
,解得a≥2,
由復合命題真值表知,若p∧q為真命題,則p與q都為真命題,
因此
a≥1
a≥2
⇒a≥2,
綜上,存在a≥2使得命題p∧q為真命題.
點評:本題借助考查復合命題的真假判定,考查基本不等式的應用及直線與橢圓的位置關系,解題的關鍵是求出組成復合命題的簡單命題為真時的條件.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>0,命題p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減,q:設函數(shù)y=
2x-2a(x≥2a)
2a(x<2a)
,函數(shù)y>1恒成立,若p和q只有一個為真命題,則a的取值范圍
0<a≤
1
2
或a≥1
0<a≤
1
2
或a≥1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>0,命題p:?x>,x+
ax
≥2
 恒成立;命題q:“直線x+y-a=0與圓(x-1)2+y2=1有公共點”,若命題p∧q為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>0,命題p:?x>0,x+
a
x
≥2恒成立;命題q:?k∈R,直線kx-y+2=0與橢圓x2+
y2
a2
=1恒有公共點.問:是否存在正實數(shù)a,使得p∨q為真命題,p∧q為假命題?若存在,請求出a的取值范圍,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>0,設命題p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減,q:不等式x+|x-2a|>1的解集為R,若p和q中有且只有一個命題為真命題,求a的取值范圍.

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