Question

已知a＞0，命題p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立；命題q：?k∈R直線kx-y+2=0與橢圓x2+

y2

a2

=1有公共點．是否存在正數(shù)a，使得p∧q為真命題，若存在，請求出a的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：利用基本不等式求得命題p為真時a的取值范圍；根據(jù)直線與橢圓的位置關系確定a滿足的條件，再由復合命題真值表知，若p∧q為真命題，則p與q都為真命題，求得a的范圍．

解答：解：對?x＞0，∵x+

a

x

≥2

a

，
∴要使x+

a

x

≥2恒成立，∴有2

a

≥2⇒a≥1，
∴命題p為真時，a≥1；
∵?k∈R直線kx-y+2=0恒過定點（0，2），要使直線kx-y+2=0與橢圓x2+

y2

a2

=1有公共點．
∴有

22

a2

+0≤1，解得a≥2，
由復合命題真值表知，若p∧q為真命題，則p與q都為真命題，
因此

a≥1 a≥2

⇒a≥2，
綜上，存在a≥2使得命題p∧q為真命題．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查基本不等式的應用及直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是求出組成復合命題的簡單命題為真時的條件．