Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，它的一個頂點的坐標為（0，-1）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C上存在兩個不同的點A、B關于直線y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{2}$對稱，求△OAB的面積的最大值（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a，b，c即可得出．
（II）直線AB的方程為：y=mx+n．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2m²）x²+4mnx+2n²-2=0，△＞0，可得1+2m²＞n²．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數(shù)的關系可得線段AB的中點G$（\frac{-2mn}{1+2{m}^{2}}，\frac{n}{1+2{m}^{2}}）$，代入直線y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{2}$，可得：n=-$\frac{1+2{m}^{2}}{2}$．利用|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．d=$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）直線AB的方程為：y=mx+n．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+2m²）x²+4mnx+2n²-2=0，
△=16m²n²-4（1+2m²）（2n²-2）＞0，
∴1+2m²＞n²．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=$\frac{-4mn}{1+2{m}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{n}^{2}-2}{1+2{m}^{2}}$，
∴線段AB的中點G$（\frac{-2mn}{1+2{m}^{2}}，\frac{n}{1+2{m}^{2}}）$，代入直線y=-$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{2}$，可得：n=-$\frac{1+2{m}^{2}}{2}$．
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=$\frac{2（-\frac{1+2{m}^{2}}{2}）^{2}-2}{1+2{m}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-\frac{8[\frac{（1+2{m}^{2}）^{2}}{4}-1]}{1+2{m}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-\frac{2（1+2{m}^{2}）^{2}-8}{1+2{m}^{2}}}$．
d=$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{1+2{m}^{2}}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×（1+2m²）ו$\sqrt{4{m}^{2}-\frac{2（1+2{m}^{2}）^{2}-8}{1+2{m}^{2}}}$．
令1+2m²=t＞1，則S_△OAB=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-2{t}^{2}+8t}$=f（t），（1＜t＜4）．
當t=1+2m²=2時，即m²=$\frac{1}{2}$時，S_△OAB的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、垂直平分線的性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．