Question

6．已知橢圓$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1上一點(diǎn)M（x₀，y₀），且x₀＜0，y₀=2．
（1）求x₀的值；
（2）求過點(diǎn)M且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1共焦點(diǎn)的橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）把M的縱坐標(biāo)代入$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1，求x₀的值；
（2）設(shè)過點(diǎn)M且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1共焦點(diǎn)的橢圓的方程，把M點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）把M的縱坐標(biāo)代入$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1，得$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{4}{36}$=1，即x²=9．
∴x=±3．故M的橫坐標(biāo)x₀=-3．
（2）對于橢圓$\frac{x2}{9}$$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦點(diǎn)在x軸上且c²=9-4=5，故設(shè)所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}$=1（a²＞5），
把M點(diǎn)坐標(biāo)代入得$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}$=1，解得a²=15（a²=3舍去）．
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．