Question

已知正項等差數(shù)列{a_n}的第一、二、三項分別加上2，4，10后恰為等比數(shù)列{b_n}的第三、四、五項，且數(shù)列{a_n}的前三項之和為12．
（1）求a_n，b_n；
（2）設(shè){b_n}的前n項和為S_n，若不等式λb_n≤

S

2 n

，對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍；
（3）設(shè){a_n}的前n項積為T_n，當x∈（1，+∞）時，求證：對?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

3a1+ 3×2 2 d=12 (a1+d+4)2=(a1+2)(a1+2d+10)

，由此能求出a_n=2n．b_n=2^n-1．
（2）S_n=1+2+4+8+…+2^n-1=2ⁿ-1，從而得到λ•2^n-1≤（2ⁿ-1）²，由此能求出λ≤1．
（3）T_n=2×4×6×…×2n=2ⁿ•n!，(2x)

1

2

an=（2x）ⁿ=2ⁿxⁿ，令f（x）=n!e^x-1-xⁿ，利用導數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性能證明對?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an．

解答： （1）解：∵正項等差數(shù)列{a_n}的第一、二、三項分別加上2，4，10后，
恰為等比數(shù)列{b_n}的第三、四、五項，且數(shù)列{a_n}的前三項之和為12，
∴

3a1+ 3×2 2 d=12 (a1+d+4)2=(a1+2)(a1+2d+10)

，
解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2n．
∴b₃=2+2=4，b₄=4+4=8，b₅=6+10=16，
∴b_n=2^n-1．
（2）解：∵bn=2n-1，
∴S_n=1+2+4+8+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∵λb_n≤

S

2 n

，對?n∈N^*恒成立，
∴λ•2^n-1≤（2ⁿ-1）²，
解得λ≤1．
（3）證明：T_n=2×4×6×…×2n=2ⁿ•n!，
(2x)

1

2

an=（2x）ⁿ=2ⁿxⁿ，
∴證明對?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an，
即證n!e^x-1＞xⁿ，
令f（x）=n!e^x-1-xⁿ，
f（1）=n!-1≥0，
f^（i）（x）=n!e^x-1-n（n-1）…（n-i+1）x^n-i（表求f的i次求導），
f^（i）（1）＞0，f^（n）（x）=n!e^x-1-n!＞0，
∴f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴對?n∈N^*，T_ne^x-1＞(2x)

1

2

an．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查a_n，b_n，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．