Question

已知雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1，直線m的方程為x=

1

2

，過雙曲線的右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線的右支相交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與直線m相交于M，N，記劣弧MN的長(zhǎng)度為n，則

n

|PQ|

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由直角梯形的中位線性質(zhì)可得：d=

d1+d2

2

，再利用雙曲線的第二定義可得r=d₁+d₂，即可得到∠MEN=

2π

3

，即可根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到弧長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1的a=1，b=

3

，c=2，e=

c

a

=2．
直線m的方程為x=

1

2

，即為右準(zhǔn)線方程．
設(shè)P、Q到右準(zhǔn)線的距離分別等于d₁、d₂，
PQ的中點(diǎn)為E，E到右準(zhǔn)線的距離等于d，并且圓的半徑等于r=

|PQ|

2

，
由直角梯形的中位線性質(zhì)可得：d=

d1+d2

2

，
再根據(jù)雙曲線的第二定義可得：

|PF|

d1

=e=2，

|QF|

d2

=e=2，
所以|PF|+|QF|=2（d₁+d₂）=2r，
所以r=d₁+d₂，
即可得到r=2d，
所以∠MEN=

2π

3

，則有劣弧MN的長(zhǎng)度為n=

2πr

3

，
所以

n

|PQ|

=

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的第二定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用與圓的有關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用．