Question

6．如圖是某城市100戶居民的月均用電量（單位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分組的頻率分布直方圖．
（1）求直方圖中x的值及月均用電量的中位數(shù)；
（2）從月均用電量在[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，再從11戶居民中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行用電分析．用X表示這2戶居民中月均用電量在[220，240）內(nèi)的戶數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和均值．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖物性質(zhì)能求出x并推導(dǎo)出中位數(shù)應(yīng)在[220，240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，給求出月均用電量的中位數(shù)．
（2）分別求出求出月均用電量在[220，240）內(nèi)的戶數(shù)、在[240，260）內(nèi)的戶數(shù)在[260，280）內(nèi)的戶數(shù)、在[280，300]內(nèi)的戶數(shù)，求出抽取比例，從而得到X服從超幾何分布，X可能取的值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和均值．

解答 解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解得x=0.0075；                                                      （2分）
因?yàn)椋?.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
所以中位數(shù)應(yīng)在[220，240）內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5，
解得a=224．（4分）
（2）月均用電量在[220，240）內(nèi)的戶數(shù)為0.0125×20×100=25，
在[240，260）內(nèi)的戶數(shù)為0.0075×20×100=15，
在[260，280）內(nèi)的戶數(shù)為0.005×20×100=10，
在[280，300]內(nèi)的戶數(shù)為0.0025×20×100=5，
從中抽取11戶，抽取比例為$\frac{11}{25+15+10+5}$=$\frac{1}{5}$，
所以月均用電量在[220，240）內(nèi)應(yīng)抽取的戶數(shù)為$25×\frac{1}{5}=5$．（7分）
用X表示這2戶居民中用電量在[220，240）內(nèi)的戶數(shù)，
所以X服從超幾何分布，X可能取的值為0，1，2．
相應(yīng)的概率為$P（X=k）=\frac{{C_5^kC_6^{2-k}}}{{C_{11}^2}}（k=0，1，2）$，（9分）
分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{3}{11}$	$\frac{6}{11}$	$\frac{2}{11}$

（11分）
$E（X）=0×\frac{3}{11}+1×\frac{6}{11}+2×\frac{2}{11}=\frac{10}{11}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布列方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意超幾何分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．