Question

14．已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，以A為始點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量記為$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$，以C為始點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量記為$\overrightarrow{_{1}}$，$\overrightarrow{_{2}}$，$\overrightarrow{_{3}}$，若i≠j，m≠n（i，j，m，n∈{1，2，3}），則（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$）的最小值為（　�。�

• A． -2
• B． -3
• C． -4
• D． -5

Answer 1

分析 由向量的幾何意義知（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）與（$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$）兩兩互為相反向量．故|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|和|$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$|取得最大值時(shí)，（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$）取得最小值．

解答 解：由向量的幾何意義可知$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$與$\overrightarrow{_{1}}$，$\overrightarrow{_{2}}$，$\overrightarrow{_{3}}$兩兩成相反向量，故$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$與$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$兩兩成相反向量，
故當(dāng)（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）與（$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$）互為相反向量且|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|取得最大值時(shí)，（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$）取得最小值．
以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，則|$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$|的最大值為|AE|，
由余弦定理得|AE|=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}-2AC•CE•cos135°}$=$\sqrt{5}$．
∴（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overrightarrow{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{_{m}}$+$\overrightarrow{_{n}}$）的最小值為-|AE|²=-5．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，找出各向量的關(guān)系是關(guān)鍵．