Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x+ |+a|x﹣ |．

（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，解不等式f（x）≤3x；

（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，若關(guān)于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集為空集，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）[﹣7，9]

【解析】試題分析：

(1)零點(diǎn)分段可得不等式的解集為；

(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|1﹣b|≤8恒成立，據(jù)此可得實(shí)數(shù)b的取值范圍是[﹣7，9].

試題解析：

解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，不等式f（x）=|2x+|﹣|x﹣|≤3x，

等價(jià)于①；或②；或．

解①求得﹣≤x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x≥，

故原不等式的解集為{x|x≥﹣}．

（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，若關(guān)于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|，即 2（|2x+|+2|x﹣|）+1＜|1﹣b|，

即|4x+1|+|4x﹣6|+1＜|1﹣b|．

由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|（4x+1）﹣（4x﹣6）|=7，∴|1﹣b|＞7+1的解集為，即|1﹣b|≤8恒成立，

∴﹣8≤b﹣1≤8，即﹣7≤b≤9，即要求的實(shí)數(shù)b的取值范圍為[﹣7，9]．