【題目】如圖,在四面體P﹣ABCD中,△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PC⊥底面ABCD,AB⊥BP,BC= .
(1)求證:PA⊥BD;
(2)已知E是PA上一點(diǎn),且BE∥平面PCD.若PC=2,求點(diǎn)E到平面ABCD的距離.
【答案】
(1)證明:連接AC交BD于O,
∵PC⊥BP,BP∩CP=P,
∴PC⊥AB,
∵AB⊥BP,BP∩CP=P,
∴AB⊥平面PBC,
∴AB⊥BC,
∵BC= ,
∴tan∠BAC= ,即∠BAC=30°,
∵∠ABD=60°,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∵PC⊥BD,
∴BD⊥平面ACP,
∵AP平面APC,
∴PA⊥BD
(2)解:取AD的中點(diǎn)F,連接BF,EF,
當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PCD,證明如下,
∵AB=BD,
∴BF⊥AD,
有(1)的BC=CD,則CD⊥AD,
∴EF∥CD,
∵E為PA的中點(diǎn),
∴EF∥PD,
∴平面BEF∥平面PCD,
∵BE平面BEF,
∴BE∥平面PCD,
∵PC⊥底面ABCD,
∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于 PC=1
【解析】(1)連接AC交BD于O,利用線線垂直得到線面垂直,即可證明PA⊥BD;(2)當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PCD,并證明,并得到點(diǎn)E到平面ABCD的距離等于 PC,問題得以解決.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐P-ABCD的體積為,其三視圖如圖所示,其中正視圖為等腰三角形,側(cè)視圖為直角三角形,俯視圖是直角梯形.
(1)求正視圖的面積;
(2)求四棱錐P-ABCD的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足: ,且該函數(shù)的最小值為1.
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(其中),問是否存在這樣的兩個(gè)實(shí)數(shù), ,使得函數(shù)的值域也為?若存在,求出, 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若對(duì)于任意的,總存在使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ(0<φ< )個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0, ]上單調(diào)遞增,則φ的取值范圍是( )
A.[ , ]
B.[ , )
C.[ , ]
D.[ , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(x0 , 2 )(x0> )是拋物線C上一點(diǎn),圓M與線段MF相交于點(diǎn)A,且被直線x= 截得的弦長(zhǎng)為 |MA|,若 =2,則|AF|等于( )
A.
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, ,函數(shù).
(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若, ,求的值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣k( +lnx),若x=2是函數(shù)f(x)的唯一一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A.(﹣∞,e]
B.[0,e]
C.(﹣∞,e)
D.[0,e)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面有命題:
①y=|sinx-|的周期是2π;
②y=sinx+sin|x|的值域是[0,2] ;
③方程cosx=lgx有三解;
④為正實(shí)數(shù),在上遞增,那么的取值范圍是;
⑤在y=3sin(2x+)中,若f(x)=f(x2)=0,則x1-x2必為的整數(shù)倍;
⑥若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角,則點(diǎn)P(cosB-sinA,sinB-cosA)在第二象限;
⑦在中,若,則鈍角三角形。
其中真命題個(gè)數(shù)為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
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