Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：AC⊥BC1；

(2)求證：AC1∥平面CDB1；

(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析(3) .

【解析】試題分析：（1）由勾股定理計(jì)算得AC⊥BC，再由直棱柱性質(zhì)得C1C⊥AC，最后根據(jù)線面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1.（2）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，由三角形中位線性質(zhì)得DE∥AC1，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（3）因?yàn)?/span>DE∥AC1，所以∠CED為AC1與B1C所成的角．再根據(jù)解三角形得所成角的余弦值．

試題解析：(1)證明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.

又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，又四邊形BCC1B1為正方形．

∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1.

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

(3)∵DE∥AC1，

∴∠CED為AC1與B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，

CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.

∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為.

點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.