Question

11．（1）求橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)M（3，2）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得a，b，c，即可得出；
（2）利用橢圓的定義可得：a，即可得出b²=a²-c²．

解答 解：（1）∵橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴a=2，b=1，c=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
因此，橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)和短軸的長(zhǎng)分別為2a=4，2b=2，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（0，-1），B₂（0，1）．
（2）由焦距是4可得c=2，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），（0，2）．
由橢圓的定義知：2a=$\sqrt{{3}^{2}+（2+2）^{2}}$+$\sqrt{{3}^{2}+（2-2）^{2}}$=8，
∴a=4，b²=a²-c²=16-4=12．
又焦點(diǎn)在y軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．