Question

已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若過點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）≥a（1-

1

x

）；
（Ⅲ）在區(qū)間（1，e）上

f(x)

x-1

＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可；
（Ⅲ）利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論．

解答： 解答：（I）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

a

x

，
∵過點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2，
∴f′（2）=

a

2

=2，解得a=4．…（2分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-a（1-

1

x

）=a（lnx-1+

1

x

）；
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=a（

1

x

-

1

x2

）．…（4分）
令g′（x）＞0，即a（

1

x

-

1

x2

）＞0，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴g（x）最小值為g（1）=0，
故f（x）≥a（1-

1

x

）成立．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=alnx+1-x，則h′（x）=

a

x

-1，
令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
當(dāng)a＞e時(shí)，h（x）在（1，e）是增函數(shù)，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）
當(dāng)1＜a≤e時(shí)，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減，
∴只需h（x）≥0，即a≥e-1．…（10分）
當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0，
∵h(yuǎn)（e）=a+1-e＜0不合題意．…（11分）
綜上，a≥e-1…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．