13.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-2an=2n+1(n∈N*).
(Ⅰ)證明數(shù)列{$\frac{a_n}{2^n}$}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (Ⅰ)把已知數(shù)列遞推式兩邊同時(shí)除以2n+1,可得{$\frac{a_n}{2^n}$}是以$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)直接利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

解答 (Ⅰ)證明:∵${a_{n+1}}-2{a_n}={2^{n+1}}$,∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1$.
∴{$\frac{a_n}{2^n}$}是以$\frac{a_1}{2}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
∴$\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{2}+(n-1)•1=n-\frac{1}{2}$.
則${a_n}=(2n-1)•{2^{n-1}}$;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:
${S_n}=1+3•2+5•{2^2}+…+(2n-1)•{2^{n-1}}$,
∴$2{S_n}=2+3•{2^2}+5•{2^3}+…+(2n-1)•{2^n}$.
兩式相減,得$-{S_n}=1+2•2+2•{2^2}+…+2•{2^{n-1}}-(2n-1)•{2^n}$
=$1+\frac{{4(1-{2^{n-1}})}}{1-2}-(2n-1)•{2^n}$.
得${S_n}=(2n-3)•{2^n}+3$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查等差關(guān)系的確定,訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.

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3.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)-2.
(1)若f(x)>0,求x的取值范圍.
(2)若x∈(-1,3],求f(x)的值域.

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4.函數(shù)y=x+$\frac{9}{x+1}$(x≠-1)的值域?yàn)椋?∞,-7]∪[5,+∞).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

1.下列判斷正確的是( 。
A.若命題p、q中至少有一個(gè)為真命題,則“p∧q”是真命題
B.不等式ac2>bc2成立的充要條件是a>b
C.“正四棱錐的底面是正方形”的逆命題是真命題
D.若k>0,則方程x2+2x-k=0有實(shí)根

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8.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( 。
A.$π+\sqrt{3}π$B.$\frac{4}{3}π$C.$2π+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}π$D.$π+\frac{{\sqrt{3}}}{3}π$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$(a-x-ax),g(x)=-ax+2.
(1)指出f(x)的單調(diào)性(不要求證明);
(2)若有g(shù)(2)+f(2)=3,求g(-2)+f(-2)的值;
(3)若h(x)=f(x)+g(x)-2,求使不等式h(x2+tx)+h(4-x)<0恒成立的t的取值范圍.

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5.下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( 。
A.f(x)=lgx4,g(x)=4lgxB.$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,x≥0\\-x,x<0\end{array}\right.$,$g(x)=\sqrt{x^2}$
C.$f(x)=\frac{{{x^2}-4}}{x-2}$,g(x)=x+2D.$f(x)=\sqrt{x+1}•\sqrt{x-1}$,$g(x)=\sqrt{{x^2}-1}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.計(jì)算:8${\;}^{\frac{2}{3}}$+(-1)0-($\frac{1}{2}$)-2-25${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{5}$.

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3.等差數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,a1<0,S2015<0,S2016>0.則n=1008時(shí),Sn取得最小值.

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