Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=3x-mx³，若對任意的x∈[-1，1]，都有f（x）≤1，則實(shí)數(shù)m的值為4．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對二次項(xiàng)系數(shù)分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)性，求出在閉區(qū)間上函數(shù)的最大值即可．

解答 解：由題意，f′（x）=-3mx²+3，
當(dāng)m≤0時(shí)-3mx²+3＞0，函數(shù)是增函數(shù)，f（1）=3-m，只需f（1）≤1即可，解得m≥2，不成立，
當(dāng)m＞0時(shí)，令f′（x）=-3mx²+3=0解得x=±$\frac{\sqrt{m}}{m}$，
①當(dāng)x＜-$\frac{\sqrt{m}}{m}$或x＞$\frac{\sqrt{m}}{m}$ 時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)，
②當(dāng)-$\frac{\sqrt{m}}{m}$≤x≤$\frac{\sqrt{m}}{m}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，
∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴x∈[-1，1]，f（x）的最大值為f（1）或f（$\frac{\sqrt{m}}{m}$）或f（-1），
∴f（1）≤1，得m≥2，f（-1）≤1，得m≤4，
f（$\frac{\sqrt{m}}{m}$）≤1得，m≥4，
綜上a=4為所求．
故答案為：4．

點(diǎn)評 考查了導(dǎo)函數(shù)的分類討論，確定原函數(shù)的單調(diào)性問題和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．