Question

2．如圖所示的幾何體是由正四棱錐和圓柱組合而成，且該幾何體內(nèi)接于球（正四棱錐的頂點都在球面上），正四棱錐底面邊長為2，體積為$\frac{4}{3}$，則圓柱的體積為2π．

Answer 1

分析 外接球的球心在圓柱上下底面中心的連線中點，利用棱錐的體積計算出棱錐的高，利用勾股定理了非常解出外接球的半徑，計算出圓柱的高，圓柱的底面直徑為棱錐底面對角線長．

解答 解：設(shè)圓柱的上下底面中心為E，F(xiàn)，則外接球的球心為EF的中點O，連接AE，OA，OS．
則AE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵V_S-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•SE$=$\frac{1}{3}×4×SE$=$\frac{4}{3}$，∴SE=1，
設(shè)外接球的半徑為r，則OE=OS-SE=r-1．OA=r，
∴r²=（r-1）²+2，解得r=$\frac{3}{2}$．
∴圓柱的高h(yuǎn)=2OE=2（$\frac{3}{2}-1$）=1，
∴圓柱的體積V=π×AE²×h=2π．
故答案為2π．

點評 本體考查了圓柱，棱錐與外接球的關(guān)系，常見幾何體的體積計算，屬于中檔題．