Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，直線MA與MB的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓E的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
將代入橢圓E的方程，得
解得，所以橢圓E的方程為．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為b，又，
∴直線l的方程為．
由得x²+2bx+2b²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則．
又，，
故=．
又，
所以上式分子=
=
故k₁+k₂=0．
分析：（1）設(shè)橢圓E的方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入解出即可；
（2）利用斜截式寫出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線MA與MB的斜率分別為k₁、k₂，即可證明：k₁+k₂=0．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、把直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力．