Question

13．已知向量$\overrightarrow m$=（sinx，-1），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函數(shù)f（x）=${\overrightarrow m^2}$+$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$-2
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，已知f（B）=1，a=1，且△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）先利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，整理求得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），進(jìn)而利用三角函數(shù)的周期公式求得函數(shù)的最小正周期，由正弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷和求解單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由f（B）=1，結(jié)合B為三角形中的角，可以解得B的大小，又△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由三角形的面積公式，可以解得c的大小，再結(jié)合a=1，在三角形中由余弦定理，即可解得答案．

解答 解：（1）f（x）=${\overrightarrow{m}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$-2=sin²x+1+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$-2
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=π，此時(shí)，2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，得kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$），k∈Z，
（2）∵f（B）=sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$．
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=2，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=3，
∴b=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和公式的化簡(jiǎn)求值．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．