Question

2．若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+4x-4y-1=0所截得的弦長為6，則$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值為5+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程，確定出半徑，根據(jù)直線與圓截得的弦長為直徑，把圓心坐標代入直線方程得到a+b=1，原式變形后，利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：圓x²+y²+4x-4y-1=0的標準方程為（x+2）²+（y-2）²=9，即圓心坐標為（-2，2），半徑r=3，
∵直線ax-by+2=0被圓截得的弦長為6，即為直徑，
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，
則$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$）（a+b）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}}$=5+2$\sqrt{6}$，
當(dāng)$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}$，即a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b時取等號．
故答案為：5+2$\sqrt{6}$

點評 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及基本不等式，確定出直線被圓截得的弦長為直徑是解本題的關(guān)鍵．