Question

12．已知函數f（x）=ln（e^x+a+1）（a為常數）是實數集R上的奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$有且只有一個實數根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用其函數的性質，求得實數a的值．
（2）關于x的方程 即 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m，令f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$，f₂（x）=x²-2ex+m，利用導數求得f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$取得最大值為$\frac{1}{e}$，函數f₂（x）=x²-2ex+m的最小值為m-e²．再根據$\frac{1}{e}$=m-e²，求得m的值．

解答 解：（1）函數f（x）=ln（e^x+a+1）（a為常數）是實數集R上的奇函數，故f（0）=ln（2+a）=0，∴a=-1，
函數f（x）=ln（e^x ）=x．
（2）由（1）知，關于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$，即 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m．
令f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$，f₂（x）=x²-2ex+m，∵${{f}_{1}}^{′}（x）$=$\frac{1-lnx}{x^2}$，故當x∈（0，e]時，${{f}_{1}}^{′}（x）$≥0，函數f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$為增函數；
當x＞e時，${{f}_{1}}^{′}（x）$＜0，函數f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$ 為減函數，故當x=e時，f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$取得最大值為$\frac{1}{e}$．
對于函數f₂（x）=x²-2ex+m，在（0，e]上是減函數，在（e，+∞）上是增函數，
故當x=e時，函數f₂（x）=x²-2ex+m取得最小值為m-e²．
要使關于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$有且只有一個實數根，只有$\frac{1}{e}$=m-e²，求得m=e²+$\frac{1}{e}$，
即當m=e²+$\frac{1}{e}$ 時，關于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$有且只有一個實數根．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的應用，利用導數研究函數的單調性，求函數的最值，函數的恒成立問題，屬于中檔題．