Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₅=25，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：對一切正整數(shù)n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由題意列方程組求得首項和公差，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）由（1）中求得的通項公式得到

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，代入有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

整理得答案．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d（d≠0），
由S₅=25，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，得

5a1+ 5×4 2 d=25 (2a1+d)2=a1•(4a1+ 4×3 2 d)

，解得：

a1=5 d=0

或

a1=1 d=2

．
∵d≠0，
∴

a1=1 d=2

，
則a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：∵a_n=2n-1，
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

．

點評：本題是數(shù)列與不等式綜合題，考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．