Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，CC₁丄底面ABC，底面是邊長為2的正三角形，M，N分別是棱CC₁、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CN∥平面 AMB₁；
（Ⅱ）若二面角A-MB₁-C為45°，求CC₁的長．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明CN∥平面 AMB₁；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）設(shè)AB₁的中點(diǎn)為P，連結(jié)NP、MP．
∵CM

∥

.

1

2

AA₁，NP

∥

.

1

2

AA₁，∴CM

∥

.

NP，
∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP．
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁．
（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則C（0，0，0），A（1，

3

，0），B（-1，

3

，0），設(shè)M（0，0，a），（a＞0），
則B₁（-1，

3

，2a），

MA

=(1，

3

，-a)，

MB1

=(-1.

3

，a)，

CM

=（0，0，a），
設(shè)平面AMB₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • MA =x+ 3 y-az=0 n • MB1 =-x+ 3 y+az=0

，
則y=0，令x=a，則z=1，即

n

=(a，0，1)，
設(shè)平面CMB₁的法向量為

m

=(u，v，w)，
則由

m

MB1

=0且

m

•

CM

=0
即

-μ+ 3 v+aw=0 aw=0

則w=0，令v=1，則u=

3

，即m=（

3

，1，0）．
所以cos（m，n）=

3 a

2 a2+1

，
依題意，（m，n）=45°，則

3 a

2 a2+1

=

2

2

，解得a=

2

，
故CC₁的長為2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面平行的判定以及二面角的求解和應(yīng)用，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．