Question

18．函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|lnx-2|，x＞0}\\{-{x^2}-2x+3，x≤0}\end{array}}$，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象交于四個不同的點，交點橫坐標(biāo)從小到大依次記為a，b，c，d，下列說法正確的個數(shù)是（　�。�
①m∈（3，4）；
②abcd∈[0，e⁴）；
③a+b+c+d∈$[{e^5}+\frac{1}{e}-2，{e^6}+\frac{1}{e^2}-2）$；
④若關(guān)于x的方程f（x）+x=t恰有四個不同實根，則t的取值范圍是3＜t≤$\frac{13}{4}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，借助函數(shù)圖象判斷m的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出a+b=-2，cd=e⁴，利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求出abcd，a+b+c+d的取值范圍，求出兩支圖象斜率為-1的切線的截距，結(jié)合圖象得出t的范圍．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示

（1）由圖象可知若y=m與f（x）的圖象有四個交點，則3≤m＜4，故①錯誤．
（2）∵y=-x²-2x+3關(guān)于直線x=-1對稱，∴a＜0，b＜0，且a+b=-2，∴-a-b=2．
∴ab=（-a）（-b）＜（$\frac{-a-b}{2}$）²=1．
由lnc-2=-（lnd-2）得cd=e⁴．
∴0≤abcd＜e⁴．故②正確．
（3）∵3≤m＜4，∴3≤2-lnc＜4，解得$\frac{1}{{e}^{2}}＜c≤\frac{1}{e}$．
∴a+b+c+d=-2+c+$\frac{{e}^{4}}{c}$，
令g（c）=-2+c+$\frac{{e}^{4}}{c}$，則g′（c）=1-$\frac{{e}^{4}}{{c}^{2}}$．
∴當(dāng)$\frac{1}{{e}^{2}}＜c≤\frac{1}{e}$時，f′（c）＜0，∴f（c）在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]上是減函數(shù)．
∴f_max（c）=f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=e⁶+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2，f_min（c）=f（$\frac{1}{e}$）=e⁵+$\frac{1}{e}$-2．故③正確．
（4）由f（x）+x=t得f（x）=-x+t．
由方程f（x）+x=t恰有四個不同實根可知直線y=-x+t與y=-x²-2x+3（x≤0）有兩個交點，
與y=|lnx-2|有兩個交點．顯然t≥3．
設(shè)y=-x²-2x+3的斜率為-1的切線為y=-x+t₁，
則-2x-2=-1，解得x=-$\frac{1}{2}$．∴y=$\frac{17}{4}$．
∴t₁=x+y=$\frac{15}{4}$＞3．
設(shè)y=2-lnx的斜率為-1的切線為y=-x+t₂．
則-$\frac{1}{x}=-1$，解得x=1，y=2．
∴t₂=x+y=3．
∴3＜t＜$\frac{15}{4}$．故④錯誤．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)判斷，基本不等式，函數(shù)的最值，屬于中檔題．