Question

3．如圖，緝私船在A處測出某走私船在方位角為45°，距離為10海里的C處，并測得走私船正沿方位角165°的方向以9海里/時的速度沿直線方向航行．我緝私船立即以v海里/時的速度沿直線方向前去截獲．
（1）若v=21，求緝私船的航向和截獲走私船所需的時間；（參考結論：sin22°≈$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$）
（2）若緝私船有兩種不同的航向均能成功截獲走私船，求v的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由正弦定理得∠CAB≈22°，從而方位角為45°+22°≈67°；在△ABC中，由余弦定理建立方程，即可求出截獲走私船所需的時間；
（2）由（1）知${v^2}=81+\frac{100}{t^2}-\frac{90}{t}$，利用換元法得到關于x的方程100x²-90x+81-v²=0必有兩不同的正實根，即可求解．

解答 解：（1）設緝私船截獲走私船所需的時間為th，
依題意，得∠ACB=60°，
在△ABC中，由正弦定理，得，$sin∠CAB=\frac{BC}{AB}sin∠ACB=\frac{9t}{21t}sin$60°=$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$，
所以∠CAB≈22°，
從而方位角為45°+22°≈67°，（3分）
在△ABC中，由余弦定理得，（vt）²=（9t）²+10²-2×9t×10×cos60°，
當v=21時，36t²+9t-10=0，解得$t=\frac{5}{12}$（負值已舍），
答：緝私船的航向約為方位角67°，截獲走私船所需時間為$\frac{5}{12}$h．（7分）
（2）由（1）知，（vt）²=（9t）²+10²-2×9t×10×cos60°，
即${v^2}=81+\frac{100}{t^2}-\frac{90}{t}$，
令$x=\frac{1}{t}＞0$，因為緝私船有兩種不同的航向均能成功截獲走私船，
所以關于x的方程100x²-90x+81-v²=0必有兩不同的正實根，（11分）
所以$\left\{\begin{array}{l}81-{v^2}＞0\;，\;\;\\{90^2}-400（{81-{v^2}}）＞0\;\end{array}\right.$
解得$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}＜v＜9$．（14分）

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查正弦定理、余弦定理的運用，正確計算，合理轉化是關鍵．