Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=λa_n-1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求證：當(dāng)λ≠0時(shí)，數(shù)列{an+

1

λ-1

}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果λ=2，求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）如果[a_n]表示不超過a_n的最大整數(shù)，當(dāng)λ=

2

+1時(shí)，求數(shù)列{[（λ-1）a_n]}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡單表示法,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)λ≠0，1時(shí)，設(shè)bn=an+

1

λ-1

，由于a_n=λa_n-1+1，可得當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

bn-1

=λ為常數(shù)．即可證明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 λ=2時(shí)，{a_n+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的是等比數(shù)列，可得a_n+1=2ⁿ，即na_n=n•2ⁿ-n．再利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：a_n=

λn-1

λ-1

．設(shè)c_n=（λ-1）a_n=λⁿ-1=(

2

+1)n-1，由二項(xiàng)式定理可知：(

2

+1)n+(-

2

+1)n為整數(shù)，即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：當(dāng)λ≠0，1時(shí)，設(shè)bn=an+

1

λ-1

，
∵a_n=λa_n-1+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

bn-1

=

an+ 1 λ-1

an-1+ 1 λ-1

=

λan-1+1+ 1 λ-1

an-1+ 1 λ-1

=λ為常數(shù)．
∵a1+

1

λ-1

=

λ

λ-1

≠0，
∴數(shù)列{an+

1

λ-1

}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為

λ

λ-1

，公比為λ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 λ=2時(shí)，{a_n+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的是等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，
na_n=n•2ⁿ-n．
設(shè)A_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
則2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．
相減得-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1=

2×(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴An=(n-1)×2n+1+2．
設(shè)B_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
則S_n=A_n-B_n=(n-1)×2n+1+2-

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：an=

λ

λ-1

•λn-1-

1

λ-1

=

λn-1

λ-1

．
設(shè)c_n=（λ-1）a_n=λⁿ-1=(

2

+1)n-1，
由二項(xiàng)式定理可知：(

2

+1)n+(-

2

+1)n為整數(shù)，
∴[c_n]=

( 2 +1)n+(- 2 +1)n-2，n=2k ( 2 +1)n+(- 2 +1)n-1，n=2k-1

，（k∈N^*）．
∴[c_n]=(

2

+1)n+(-

2

+1)n-

3

2

-

(-1)n

2

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、“取整函數(shù)的性質(zhì)”、二項(xiàng)式定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．