Question

12．函數(shù)f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（ωx+φ），x∈R，其中a，b，ω都為正數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，滿足f（x）＜$\frac{{a}^{2}+^{2}}{10}$的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2kπ），k∈Z
• B． （2kπ-π，2kπ），k∈Z
• C． （2kπ-2π，2kπ），k∈Z
• D． （2kπ-$\frac{4π}{3}$，2kπ），k∈Z

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的圖象確定函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：由圖象知函數(shù)的最大值為5，即$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，則a²+b²=25，
$\frac{T}{2}$=$\frac{4π}{3}-\frac{π}{3}=π$，即函數(shù)的周期T=2π=$\frac{2π}{ω}$，即ω=1，
即f（x）=5sin（x+φ），
∵f（$\frac{π}{3}$）=5sin（$\frac{π}{3}$+φ）=5，∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
即$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，
則f（x）=5sin（x+$\frac{π}{6}$+2kπ）=5sin（x+$\frac{π}{6}$），
則不等式f（x）＜$\frac{{a}^{2}+^{2}}{10}$等價(jià)為5sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{25}{10}$=$\frac{5}{2}$，即sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{2}$，
2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即2kπ-$\frac{4π}{3}$＜x＜2kπ，k∈Z，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用圖象確定A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．