已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使=m+n，且m+n=1．


解析:

A、B、C 三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件是存在 實(shí)數(shù)λ，使得=λ．很顯然，題設(shè)條件中向量表達(dá)式并未涉及、，對(duì)此，我們不妨利用=＋ 來(lái)轉(zhuǎn)化，以便進(jìn)一步分析求證．

證明  充分性，由=m＋n， m＋n=1，  得

   ＋=m＋n（＋）

   =（m＋n）＋n=＋n，

    ∴=n．

∴A、B、C三點(diǎn)共線．

必要性:由A、B、C 三點(diǎn)共線知，存在常數(shù)λ，使得=λ，   

即   +=λ（+）．

=（λ－1）＋λ=（1－λ）＋λ，

m=1－λ，n=λ，m＋n=1，

 =m＋n．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足MA+MB=2
2
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)C在（1）中的軌跡上，且滿足△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線l與（1）中的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線l使得△APQ為正三角形，若存在求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A，B，C，P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m，n，使
PC
=m
PA
+n
PB
，且m+n=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：天津市新人教A版數(shù)學(xué)2012屆高三單元測(cè)試4：充分必要條件 新人教A版 題型：013

已知a、b、c、p為空間的任意向量，O、A、B、C為空間的任意點(diǎn)，有下列命題

①a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb

②向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb

③若向量{a、b、c}是空間的一個(gè)基底，則{a＋b，a－b，c}也可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

④若、、不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個(gè)數(shù)是

[　　]

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a、b、c、p為空間的任意向量，O、A、B、C為空間的任意點(diǎn)，有下列命題

①a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb

②向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p＝xa＋yb

③若向量{a、b、c}是空間的一個(gè)基底，則{a＋b，a－b，c}也可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

④若OA、OB、OC不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個(gè)數(shù)是（   ）

A．1個(gè)         B．2個(gè)         C．3個(gè)         D．4個(gè)

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