已知A，B，C，P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m，n，使
PC
=m
PA
+n
PB
，且m+n=1．
分析：根據(jù)向量法判斷三點(diǎn)共線的充要條件，我們可以寫(xiě)出“
AC
與
AB
共線”的充要條件，分析與“存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，使得
AC
=λ
AB
，結(jié)合向量共線的條件，從必要性和充分性?xún)煞矫鎭?lái)證即可．
解答：證：由
PC
=m
PA
+n
PB
，m+n=1，得
PA
+
AC
=m
PA
+n（
PA
+
AB
）
=（m+n）
PA
+n
AB
=
PA
+n
AB
，
∴
AC
=n
AB
．
∴A，B，C三點(diǎn)共線．
由A、B、C三點(diǎn)共線，知存在常數(shù)λ，使得
AC
=λ
AB
，
即
AP
+
PC
=λ（
AP
+
PB
），
PC
=（λ-1）
AP
+λ
PB
=（1-λ）
PA
+λ
PB
，
令m=1-λ，n=λ，m+n=1，且
PC
=m
PA
+n
PB
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是必要條件，充分條件與充要條件的判斷，平面向量的基本定理及其意義，其中熟練掌握向量法判斷三點(diǎn)共線的充要條件，是解答本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MA+MB=2
2
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)C在（1）中的軌跡上，且滿(mǎn)足△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線l與（1）中的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的直線l使得△APQ為正三角形，若存在求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：天津市新人教A版數(shù)學(xué)2012屆高三單元測(cè)試4：充分必要條件 新人教A版 題型：013

已知a、b、c、p為空間的任意向量，O、A、B、C為空間的任意點(diǎn)，有下列命題

①a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb

②向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb

③若向量{a、b、c}是空間的一個(gè)基底，則{a＋b，a－b，c}也可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

④若、、不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個(gè)數(shù)是

[　　]

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

  已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使=m+n，且m+n=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a、b、c、p為空間的任意向量，O、A、B、C為空間的任意點(diǎn)，有下列命題

①a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb

②向量p與向量a、b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p＝xa＋yb

③若向量{a、b、c}是空間的一個(gè)基底，則{a＋b，a－b，c}也可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

④若OA、OB、OC不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則O、A、B、C一定共面

其中真命題的個(gè)數(shù)是（   ）

A．1個(gè)         B．2個(gè)         C．3個(gè)         D．4個(gè)

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