分析 (1)利用橢圓結(jié)果的點(diǎn)以及離心率列出方程組,求解a,b即可得到橢圓方程.
(2)設(shè)直線l的方程為:$y=kx+\sqrt{2}$,通過$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.⇒$$(\frac{1}{2}+{k^2}){x^2}+2\sqrt{2}kx+1=0$.令P(x1,y1),Q(x2,y2),利用判別式以及韋達(dá)定理,通過向量關(guān)系求解直線的斜率即可.
解答 解:(1)設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,
依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$解得a2=2,b2=1.
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.
(2)假設(shè)存在過點(diǎn)$(0,\sqrt{2})$且斜率為k的直線l適合題意,
則因?yàn)橹本l的方程為:$y=kx+\sqrt{2}$,于是聯(lián)立方程,
$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.⇒$$(\frac{1}{2}+{k^2}){x^2}+2\sqrt{2}kx+1=0$.
由直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P和Q知,$△=8{k^2}-4(\frac{1}{2}+{k^2})$=4k2-2>0,
∴${k^2}>\frac{1}{2}$.
令P(x1,y1),Q(x2,y2),∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=({x_1}+{x_2},{y_1}+{y_2})$,
∵${x_1}+{x_2}=-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}$,${y_1}+{y_2}=k({x_1}+{x_2})+2\sqrt{2}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}$,
∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=(-\frac{{4\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}},\frac{{2\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}})$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{{1+2{k^2}}}(-2k,1)$,
由題知${A_2}(\sqrt{2},0)$,B(0,1),$\overrightarrow{{A_2}B}(-\sqrt{2},1)$.
從而,根據(jù)向量$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$與A2B共線,可得$2k=\sqrt{2}$,$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,這與${k^2}>\frac{1}{2}$矛盾.
故不存在符合題意的直線l.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解析幾何與向量的應(yīng)用,設(shè)而不求方法的應(yīng)用.
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A. | $\frac{8}{15}$ | B. | -$\frac{8}{15}$ | C. | $\frac{15}{17}$ | D. | -$\frac{15}{17}$ |
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A. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B. | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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A. | B. | C. | D. |
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x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
lnx | 0 | 0.69 | 1.10 | 1.39 | 1.61 |
x-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | -1 | B. | 26 | C. | 3 | D. | 2 |
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