Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，0＜x≤{e}^{3}}\\{-x+{e}^{3}+3，x＞{e}^{3}}\end{array}\right.$，存在x₁＜x₂＜x₃，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{2}}$的最大值為$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 作出f（x）的函數(shù)圖象，得出x₁，x₂，x₃的關(guān)系和范圍，從而計(jì)算出答案．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵存在x₁＜x₂＜x₃，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
∴1$＜{x}_{2}＜{e}^{3}$，
∴$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{2}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（1，e³），則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)1＜x＜e時，g′（x）＞0，當(dāng)e＜x＜e³時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，在（1，e³）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時，g（x）取得最大值g（e）=$\frac{1}{e}$．
∴$\frac{ln{x}_{2}}{{x}_{2}}$的最大值為$\frac{1}{e}$．
故答案為$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷，函數(shù)最值的計(jì)算，找出x₂的范圍，構(gòu)造函數(shù)g（x）是關(guān)鍵，屬于中檔題．