Question

設(shè)f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*）．
求證：f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n•[f（n）-1]（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：首先檢驗(yàn)當(dāng)n=2時(shí)，等式兩邊成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式兩邊成立，寫出此時(shí)的等式，準(zhǔn)備后面要用，再檢驗(yàn)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，使用n=k時(shí)的條件，整理出結(jié)果，最后總結(jié)對(duì)于所有的不小于2的自然數(shù)結(jié)論都成立．

解答：證明：當(dāng)n=2時(shí)，左邊=f（1）=1，
右邊=2[1+

1

2

-1]=1，左邊=右邊，等式成立．
假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即f（1）+f（2）+…+f（k-1）=k[f（k）-1]，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=k[f（k）-1]+f（k）=（k+1）f（k）-k
=（k+1）[f（k+1）-

1

k+1

]-k
=（k+1）f（k+1）-（k+1）
=（k+1）[f（k+1）-1]，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論仍然成立．
∴f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n[f（n）-1]（n≥2，n∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，在證明和自然數(shù)有關(guān)的等式或不等式時(shí)，一般應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)際上這種問題證明是有一個(gè)固定的模式可以套用，這是注意在由n=k變化為n=k+1時(shí)，千萬(wàn)要用n=k的結(jié)論．