Question

19．設(shè)無(wú)窮數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若存在常數(shù)k，滿足S_n≥k$\sqrt{n}$對(duì)一切的n∈N^*成立，則稱數(shù)列{a_n}為“k數(shù)列”
（1）求證：數(shù)列{1-2n}不是“k數(shù)列”；
（2）求證：數(shù)列{n-5}是“k數(shù)列”，并求出k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用新定義和反證法即可證明，
（2）由新定義和數(shù)列的性質(zhì)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和最值的關(guān)系即可求出．

解答 證明：（1）假設(shè){1-2n}是“k數(shù)列”，
∴存在常數(shù)k，滿足S_n≥k$\sqrt{n}$對(duì)一切的n∈N^*成立，
∵{1-2n}是以-1為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=-n+$\frac{1}{2}$n（n-1）×（-2）=-n²，
∴存在常數(shù)k，滿足-n²≥k$\sqrt{n}$對(duì)一切的n∈N^*成立，
∴k≤-${n}^{\frac{3}{2}}$對(duì)一切的n∈N^*成立，
∵y=-${x}^{\frac{3}{2}}$在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴y無(wú)最小值，
∴-${n}^{\frac{3}{2}}$無(wú)最小值，
∴k的值不存在，
與假設(shè)相矛盾，
故假設(shè)不成立，
故數(shù)列{1-2n}不是“k數(shù)列”；
（2）∵數(shù)列{n-5}是“k數(shù)列”，
∴存在常數(shù)k，滿足S_n≥k$\sqrt{n}$對(duì)一切的n∈N^*成立，
∵數(shù)列{n-5}是以-4為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=-4n+$\frac{1}{2}$n（n-1）=$\frac{1}{2}$（n²-9n），
∴$\frac{1}{2}$（n²-9n）≥k$\sqrt{n}$，
即k≤$\frac{1}{2}$（${n}^{\frac{3}{2}}$-9$\sqrt{n}$），
設(shè)x=$\sqrt{n}$，
則f（x）=$\frac{1}{2}$（x³-9x），
則f′（x）=$\frac{1}{2}$（3x²-9），
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解的x＞$\sqrt{3}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解的0＜x＜$\sqrt{3}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，即f（$\sqrt{3}$）=-3$\sqrt{3}$，
故當(dāng)n=3時(shí)，$\frac{1}{2}$（${n}^{\frac{3}{2}}$-9$\sqrt{n}$）有最小值為-3$\sqrt{3}$，
∴k≤-3$\sqrt{3}$，
故k的最大值為-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的應(yīng)用以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式，反證法，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想，屬于中檔題．