Question

14．已知函數(shù)f （x）=ln x和g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+a（其中a為常數(shù)），直線l與f （ x ） 和g （x） 的圖象都相切，且與f （x） 的圖象的切點的橫坐標為1．
（Ⅰ）求l的方程和a的值；  
（Ⅱ）求證：關(guān)于x 的不等式f （ x²+1）≤ln 2+g （x） 的解集為R．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用l與f （x）圖象相切的切點為（1，0），求出導函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$，得到切線斜率k_l=1，求出l方程，利用直線與拋物線聯(lián)立，判別式為0，求解a即可．
（Ⅱ）記h（x）=f （ x²+1）-g（x）-ln2 化簡，然后求出導函數(shù)，通過h'（x）＜0，h'（x）＞0，得到單調(diào)區(qū)間，求出極值和最值，即可得到不等式f （ x²+1）≤ln2+g（x） 的解集．

解答 解：（Ⅰ）依題意，l與f （x）圖象相切的切點為（1，0），函數(shù)f （x）=ln x，可得f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴k_l=1，從而l：y=x-1…3’； 
又$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}{x^2}+a\\ y=x-1\end{array}\right.⇒$x²-2x+2a+2=0，判別式△=4-8a-8=0  $⇒a=-\frac{1}{2}$…6’．
（Ⅱ）記h（x）=f （ x²+1）-g（x）-ln2…7’，
則h（x）=ln （ x²+1）-$\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$-ln2 （x∈R）…8’，
$h'（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}-x=\frac{{x-{x^3}}}{{{x^2}+1}}$=$\frac{-（x+1）x（x-1）}{{{x^2}+1}}$，
令h'（x）＜0，得（x+1）x（x-1）＞0，即-1＜x＜0或x＞1；
令h'（x）＞0，得（x+1）x（x-1）＜0，即x＜-1或0＜x＜1，
可見x=-1及x=1時偶函數(shù)h（x）取得極大值…10’，也是最大值，h_max（x）=h（±1）=0，
∴h（x）≤0在R上恒成立，即不等式f （ x²+1）≤ln2+g（x） 的解集為R…12’．

點評 本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．