Question

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0），端點(diǎn)A在圓（x-7）²+y²=16上運(yùn)動(dòng)，
（1）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）點(diǎn)C（2，a），若過點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線與圓相切，求a的值及切線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出A，M坐標(biāo)，利用M為線段AB中點(diǎn)，確定A，M坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A在圓（x-7）²+y²=16上運(yùn)動(dòng)，可得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)出切線方程，利用直線與圓相切，可求a的值及切線方程．

解答：解：（1）設(shè)A（m，n），M（x，y），則
∵M(jìn)為線段AB中點(diǎn)，
∴

x= m-1 2 y= n 2

，∴

m=2x+1 n=2y

，
又點(diǎn)A在圓（x-7）²+y²=16上運(yùn)動(dòng)，
∴（2x+1-7）²+（2y）²=16，
即（x-3）²+y²=4．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為：（x-3）²+y²=4；                         …（6分）
（2）設(shè)切線方程為：y=

a

2

x和x+y=2+a…（9分）
則

|3a|

a2+4

=2和

|1-a|

2

=2，
解得：a=±

4 5

5

或a=1±2

2

…（11分）
∴切線方程為y=±

2 5

5

x和x+y=3±2

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．