Question

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），端點(diǎn)A在圓C：（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)．
（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡；
（2）過(guò)B點(diǎn)的直線L與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A，D．當(dāng)CA⊥CD時(shí)，求L的斜率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出A和M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把A的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入圓的方程后可求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡；
（2）由題意可知L的斜率存在，設(shè)出其斜率，結(jié)合CA⊥CD，由弦心距和半徑的關(guān)系得到弦心距，再由圓心到直線的距離公式列式求出直線L的斜率．

解答：解（1）設(shè)A（x₁，y₁），M（x，y），
由中點(diǎn)公式得

x1+1 2 =x y1+3 2 =y

?

x1=2x-1 y1=2y-3

因?yàn)锳在圓C上，所以（2x）²+（2y-3）²=4，即x2+(y-

3

2

)2=1
點(diǎn)M的軌跡是以(0，

3

2

)為圓心，1為半徑的圓；
（2）設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因?yàn)镃A⊥CD，△CAD為等腰直角三角形，
有題意知，圓心C（-1，0）到L的距離為

1

2

CD=

2

2

=

2

．
由點(diǎn)到直線的距離公式得

|-k-k+3|

k2+1

=

2

，
∴4k²-12k+9=2k²+2
∴2k²-12k+7=0，解得k=3±

11 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題，考查了利用代入法求曲線的方程，解答的關(guān)鍵是正確利用直線和圓的位置關(guān)系，是中檔題．