Question

6．四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，則由這10點(diǎn)構(gòu)成的直線中，有423對(duì)異面直線．

Answer 1

分析 首先我們確定四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)．可以構(gòu)成的三棱錐個(gè)數(shù)（在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)的情況），每個(gè)三棱錐中有3對(duì)異面直線，則可得這10點(diǎn)構(gòu)成的直線中，異面直線的對(duì)數(shù)．

解答 解：首先我們確定四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)．
可以構(gòu)成的三棱錐個(gè)數(shù)（在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)的情況）
取出的4點(diǎn)不共面比取出的4點(diǎn)共面的情形要復(fù)雜，故采用間接法：
從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，
其中4點(diǎn)共面的情況有三類．
第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有4C₆⁴種；
第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；
第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），
它的4頂點(diǎn)共面，有3種．
以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種．
即這10個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成141個(gè)三棱錐，每個(gè)三棱錐中有3對(duì)異面直線，
所以則由這10點(diǎn)構(gòu)成的直線中，共有141×3=423對(duì)異面直線．
故答案為：423

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于難題．