Question

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，x軸上有一點Q（2a，0），若C上存在一點P，使AP⊥PQ，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $e＞\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $1＜e＜\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $e≥\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $1＜e＜\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 點P（m，n），根據(jù)AP⊥PQ利用數(shù)量積為零算出（m-a）（2a-m）-n²=0，結合點P（m，n）在雙曲線上消去n，得關于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0，此方程的一個根為a，而另一個根為大于a的實數(shù)，由此建立關于a、b、c不等式關系，化簡整理即可得到離心率e的取值范圍．

解答 解：設點P（m，n），可得$\overrightarrow{AP}$=（m-a，n），$\overrightarrow{PQ}$=（2a-m，-n）
∵AP⊥PQ，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PQ}$=（m-a）（2a-m）-n²=0…（1）
又∵P（m，n）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，得n²=b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）…（2）
將（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b²（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0
化簡整理，得-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$m²+3am+c²-3a²=0
此方程的一根為m₁=a，另一根為m₂=$\frac{3{a}^{3}-{ac}^{2}}{{c}^{2}}$．
∵點P是雙曲線上異于右頂點A的一點，
∴$\frac{3{a}^{3}-{ac}^{2}}{{c}^{2}}$＞a，得3a²＞2c²，即e²＜$\frac{3}{2}$，
由此可得雙曲線的離心率e滿足1＜e＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：B

點評 本題給出雙曲線上存在一點P，到A（a，0）和Q（2a，0）所張的角等于90度，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質和直線與雙曲線關系等知識，屬于中檔題．