【題目】如圖所示，在中， 的中點(diǎn)為,且，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.固定邊，在平面內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)，使得圓與邊，邊的延長(zhǎng)線相切，并始終與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.以所在直線為軸， 為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求面積的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的定義進(jìn)行分析探求；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析求解：

（Ⅰ）依題意得，設(shè)動(dòng)圓與邊的延長(zhǎng)線相切于，與邊相切于， 則

所以

所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，且挖去長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn).則曲線的方程為.

由于曲線要挖去長(zhǎng)軸兩個(gè)頂點(diǎn)，所以直線斜率存在且不為，所以可設(shè)直線

由得,，同理可得： ,；

所以，

又，所以令，

則且，所以

又，所以，

所以，

所以，所以，

所以面積的取值范圍為.

【法二】

依題意得直線斜率不為0，且直線不過橢圓的頂點(diǎn)，則可設(shè)直線： ，且。

設(shè)，又以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，所以

由得，則

且，所以

又

代入①得： ，所以，

代入②得： 恒成立所以且.

又；

點(diǎn)到直線的距離為，

所以

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅱ）當(dāng)且時(shí)，

，

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，

所以，所以，

所以，所以；

綜合（1），（2）知.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）若方程有兩根，求的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，設(shè)，求證： 隨著的減小而增大；

（Ⅲ）若不等式恒成立，求證： （）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓, 在拋物線上,圓過原點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切.

(Ⅰ) 求的方程；

(Ⅱ) 點(diǎn),點(diǎn)（與不重合）在直線上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)作的兩條切線,切點(diǎn)分別為, .求證： （其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】回答下列問題
（1）已知圓C的方程為x2+y2=4，直線l過點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A、B兩點(diǎn)．若|AB|=2 ，求直線l的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y﹣2﹣a=0（a∈R）．若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若3cos（2α+β）+5cosβ=0，則tan（α+β）tanα的值為（ ）
A.±4
B.4
C.﹣4
D.1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知： 、 、 是同一平面上的三個(gè)向量，其中 =（1，2）．
（1）若| |=2 ，且 ∥ ，求 的坐標(biāo)．
（2）若| |= ，且 +2 與2 ﹣ 垂直，求 與 的夾角θ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若關(guān)于x的不等式（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1＞0的解集為空集，則實(shí)數(shù)m的取值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，將曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑱M坐標(biāo)不變，得到曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）是曲線上兩點(diǎn)，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)科研人員屠呦呦法相從青篙中提取物青篙素抗瘧性超強(qiáng)，幾乎達(dá)到100%，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間r（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線

（1）寫出第一服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于 微克時(shí)，治療有效，求服藥一次后治療有效的時(shí)間是多長(zhǎng)？

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