Question

【題目】已知函數（）．

（Ⅰ）若方程有兩根，求的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，設，求證： 隨著的減小而增大；

（Ⅲ）若不等式恒成立，求證： （）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析; （Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，有，設，求得的單調性，進而由方程，求解實數的取值范圍；

（Ⅱ）由題意， ，推得進而得到，即可得到隨著的減小而增大．

（Ⅲ）依題意， 恒成立，記，則，

分類討論得到函數的最小值， ，設，利用函數的性質，即可求得結論.

試題解析：（Ⅰ）由，有，

設，由，

在上單調遞增，在上單調遞減，又， ．當時， ；當時， ．

故若方程有兩根，則．

（Ⅱ）故若方程有兩根，則， ．

假設對于任意的．記，由上可知；記，由上可知．

因為在上單調遞增，在上單調遞減，故由可知， ．

又因為， ，所以，故隨著的減小而增大．

（Ⅲ）依題意， 恒成立，記，則．

①當時， 在恒成立，故在單調遞減，又因為，所以在上函數值小于零，不符合題意，舍去．

②當時， 得．

	小于0	大于0
	單調遞減	單調遞增

由上表可知在上的．

記，由可知， 在單調遞增，在單調遞減，故，綜上，即．

由可得（），兩邊乘以可得，即．

則．