Question

求函數y=（sinx+m）（cosx+m）的最大值與最小值，其中0＜m≤

2

．

Answer 1

考點：三角函數的最值,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：將函數式展開，再令t=sinx+cosx，求出范圍，再配方可得sinxcosx，進而轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，討論對稱軸與區(qū)間的關系，以及兩端點的函數值的大小，即可得到最值．

解答： 解：函數y=（sinx+m）（cosx+m）=sinxcosx+m（sinx+cosx）+m²，
令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
則t²=1+2sinxcosx，即有sinxcosx=

t2-1

2

，
則y=

t2-1

2

+mt+m²=

1

2

（t+m）²+

1

2

m²-

1

2

，
由于對稱軸t=-m∈[-

2

，0），
即有當t=-m時，y取得最小值，且為

1

2

m²-

1

2

，
當t=-

2

時，y=

1

2

-

2

m+m²，
當t=

2

時，y=

1

2

+

2

m+m²，
由m＞0，則

1

2

+

2

m+m²＞

1

2

-

2

m+m²，
即有當t=

2

時，y取得最大值，且為

1

2

+

2

m+m²．
即有函數的最小值為

1

2

m²-

1

2

，最大值為

1

2

+

2

m+m²．

點評：本題考查三角函數的最值的求法，考查二次函數在閉區(qū)間上的最值，考查三角函數的化簡和求值，考查運算能力，屬于中檔題．