Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²-（a+1）x+1）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡ax²-（a+1）x+1＞0為（ax-1）（x-1）＞0，從而求函數(shù)的定義域；
（2）討論a＞1與0＜a＜1，從而化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（1）ax²-（a+1）x+1＞0得，
（ax-1）（x-1）＞0，
解得，a＞1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＜

1

a

或x＞1}，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＜1或x＞

1

a

}；
（2）①當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＞0，即ax²-（a+1）x+1＞1，
即ax²-（a+1）x＞0，
又對任意x∈[2，+∞）恒有ax²-（a+1）x＞0，
故a＞（

1

x-1

）_max，故a＞1；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f（x）＞0得，ax²-（a+1）x+1＜1，
即a＜（

1

x-1

）_min，故a≤0；
綜上所述，a＞1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，屬于基礎(chǔ)題．