Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（Ⅰ）當a=e時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ） 當a=e時，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 當a=e時，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，
當x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-e，函數(shù)f（x）無極大值．
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當x＜lna時，f'（x）＜0；當x＞lna時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數(shù)a的取值范圍是[0，1]．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．