Question

設(shè){a_n}，{b_n}都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù)n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差數(shù)列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數(shù)列．
（1）試問{b_n}是否成等差數(shù)列？為什么？
（2）如果a₁=1，b₁=

2

，求數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列和對比數(shù)列的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)即可
（2）求出數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可．

解答： 解：∵a_n，b_n²，a_n+1成等差數(shù)列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比數(shù)列，
∴得2b_n²=a_n+a_n+1 ①，a_n+1²=b_n²b_n+1²  ②…（2分）
（1）∵a_n＞0，b_n＞0，
∴由②得a_n+1=b_nb_n+1，從而當(dāng)n≥2時，a_n=b_n-1b_n，
代入式①得2b_n²=b_nb_n+1+b_n-1b_n，…（4分）
即2b_n=b_n+1+b_n-1，（n≥2），故{b_n}是等差數(shù)列． …（6分）
（2）由a₁=1，b₁=

2

及式①，式②，易得a₂=3，b₂=

3 2

2

   …（8分）
因此{(lán)b_n}的公差d=

2

2

，從而b_n=b₁+（n-1）d=

2

2

（n+1），得a_n+1=

1

2

（n+1）（n+2），
即a_n=

1

2

n（n+1）③…（10分）
又a₁=1也適合式③，得a_n=

1

2

n（n+1），
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
從而S_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

…（14分）

點(diǎn)評：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和，要求熟練掌握裂項(xiàng)法在數(shù)列求和過程中的應(yīng)用．