Question

12．已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，且f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使f（4m-2mcosθ）-f（4-2cos²θ）＞f（0）對(duì)所有的θ∈[0，$\frac{π}{2}$]均成立？若存在，求出適合條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（0）=0，原不等式可化為f（4m-2mcosθ）＞f（4-2cos²θ），即4m-2mcosθ＞4-2cos²θ，令t=cosθ，原不等式可轉(zhuǎn)化為t∈[0，1]時(shí)，是否存在m∈R，使得g（t）=2t²-2mt+4m-4＞0恒成立，將m分離出來利用基本不等式即可求出m的取值范圍．

解答 解：f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，
又f（x）在R上為增函數(shù)，
所以原不等式即為f（4m-2mcosθ）-f（4-2cos²θ）＞0，
即有f（4m-2mcosθ）＞f（4-2cos²θ），
∴4m-2mcosθ＞4-2cos²θ，
即2cos²θ-2mcosθ+4m-4＞0．
令t=cosθ，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)t∈[0，1]時(shí)，是否存在m∈R，使得g（t）=2t²-2mt+4m-4＞0恒成立．
由2t²-2mt+4m-4＞0，t∈[0，1]，
得m＞$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$=t-2+$\frac{2}{t-2}$+4，t∈[0，1]時(shí)，
令h（t）=（2-t）+$\frac{2}{2-t}$≥2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2-$\sqrt{2}$時(shí)，h（t）取得最小值2$\sqrt{2}$，
故m＞（t-2+$\frac{2}{t-2}$+4）_max=4-2$\sqrt{2}$．
即存在這樣的m，且m∈（4-2$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用基本不等式求最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．