Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

3

）^x，函數(shù)g（x）=log 

1

3

x
（1）若g（mx²+2x+m）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若g（mx²+2x+m）的定義域?yàn)镽，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式恒成立，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）利用換元法設(shè)t=（

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3

）^x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）∵g（mx²+2x+m）=log 

1

3

（mx²+2x+m）的定義域?yàn)镽，
則等價(jià)為不等式mx²+2x+m＞0的解集為R，
當(dāng)m=0是，不等式等價(jià)為x＞0，此時不滿足條件．
當(dāng)m≠0，
則等價(jià)為

m＞0 △=4-4m2＜0

，
即

m＞0 m＞1或m＜-1

，
解得m＞1．
（2）令t=（

1

3

）^x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[

1

3

，3]，
則y=[f（x）]²-2af（x）+3等價(jià)為y=m（t）=t²-2at+3，
對稱軸為t=a，
當(dāng)a＜

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3

時，函數(shù)的最小值為h（a）=m（

1

3

）=

28-6a

9

；
當(dāng)

1

3

≤a≤3時，函數(shù)的最小值為h（a）=m（a）=3-a²；
當(dāng)a＞3時，函數(shù)的最小值為h（a）=m（3）=12-6a；
綜上所述，h（a）=

28-6a 9 ， a＜ 1 3 3-a2， 1 3 ≤a≤3 12-6a， a＞3

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．