Question

4．對定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）和常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“凱森數(shù)對”．
（1）若（1，1）是f（x）的一個(gè)“凱森數(shù)對”，且f（1）=3，求f（16）；
（2）已知函數(shù)f₁（x）=log₃x與f₂（x）=2^x的定義域都為[1，+∞），問它們是否存在“凱森數(shù)對”？分別給出判斷并說明理由；
（3）若（2，0）是f（x）的一個(gè)“凱森數(shù)對”，且當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）=$\sqrt{2x-{x^2}}$，求f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）（1，1）是f（x）的一個(gè)“凱森數(shù)對，構(gòu)造f（2n）=f（2n-1）+1，即可求出f（16），
（2）分別根據(jù)新定義，判斷即可，
（3）當(dāng)2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹，則1＜$\frac{x}{{2}^{n}}$≤2，根據(jù)題意可得當(dāng)2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時(shí)，函數(shù)y=f（x）-x在區(qū)間（1，+∞）無零點(diǎn)，問題得以解決．

解答 解：（1）由題意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，則f（2n）=f（2n-1）+1，
則數(shù)列{f（2n）}成等差數(shù)列，公差為d=1，首項(xiàng)f（1）=3，
于是f（16）=7；
（2）對于函數(shù)f₁（x）=log₃x，定義域?yàn)閇1，+∞），
∴l(xiāng)og₃2x=alog₃x+b，
∴l(xiāng)og₃2+log₃x=alog₃x+b，
∴a=1，b=log₃2，
∴（1，log₃2）為函數(shù)f₁（x）的一個(gè)“凱森數(shù)對，
對于函數(shù)f₂（x）=2^x，定義域?yàn)閇1，+∞），
∴2^2x=a2^x+b，
∴a=2^x，b=0，
∴不存在“凱森數(shù)對“
（3）當(dāng)2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹，則1＜$\frac{x}{{2}^{n}}$≤2，
則由題意得f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2²f（$\frac{x}{{2}^{2}}$）=…=2ⁿf（$\frac{x}{{2}^{n}}$）=2ⁿ，
∴$\sqrt{\frac{2x}{{2}^{n}}-（\frac{x}{{2}^{n}}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{n+1}•x-{x}^{2}}$，
由f（x）-x=0，得$\sqrt{{2}^{n+1}•x-{x}^{2}}$=x，
解得x=0，或x²=2ⁿ均不符合條件，
即當(dāng)2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時(shí)，函數(shù)y=f（x）-x在區(qū)間（1，+∞）無零點(diǎn)，
由于（1，+∞）=（1，2]∪（2，2²]∪…∪（2ⁿ，2ⁿ⁺¹]…，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上無零點(diǎn)，
f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)．

點(diǎn)評 本題考查利用新定義分析問題、解決問題的能力．考查轉(zhuǎn)化計(jì)算，分類討論、構(gòu)造能力及推理論證能力，思維量大，屬于難題．