Question

7．已知函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x（a≠0，a∈R）．
（I）當a=2時，求f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）求f（x）圖象的一條對稱軸方程或一個對稱中心坐標．

Answer 1

分析 （1）由對稱軸的性質(zhì)不妨設f（2b-x）=f（x），代入函數(shù)解析式由指數(shù)的運算性質(zhì)化簡后求出b，可求出f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）由對稱軸的性質(zhì)不妨設f（2b-x）=f（x），代入函數(shù)解析式由指數(shù)的運算性質(zhì)化簡后求出b，注明a的范圍，求出f（x）圖象的對稱軸方程．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=2^x+2•2^-x，
不妨設f（2b-x）=f（x），則2^2b-x+2•2^-（2b-x）=2^x+2•2^-x，
∴2^x（2^1-2b-1）=2^-x（2-2^2b），則2^2x（2^1-2b-1）=2-2^2b，
∵x∈R，∴2^1-2b-1=2-2^2b=0，解得b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）圖象的對稱軸方程是x=$\frac{1}{2}$；
（2）不妨設f（2b-x）=f（x），則2^2b-x+a•2^-（2b-x）=2^x+a•2^-x，
∴2^x（a•2^-2b-1）=2^-x（a-2^2b），則2^2x（a•2^-2b-1）=a-2^2b，
∵x∈R，a≠0，a∈R，∴a•2^-2b-1=a-2^2b=0，解得b=$\frac{1}{2}lo{g}_{2}^{a}（a＞0）$，
當a＞0時，f（x）圖象的對稱軸方程x=$\frac{1}{2}lo{g}_{2}^{a}（a＞0）$．

點評 本題考查函數(shù)圖象的對稱軸的性質(zhì)，以及指數(shù)運算的性質(zhì)，屬于中檔題．